Azər Əziz oğlu Bayramov 1970-ci il fevralın 1-də Bakı şəhərində anadan olub. 1990-cı ildə N.Voznesenski adına Leninqrad Maliyyə-İqtisad İnstitutunun Bakı filialını bitirərək iqtisadçı ixtisasına yiyələnib. 2000-ci ildə Bakı Dövlət Universitetinin Hüquq fakültəsini bitirib.

Əmək fəaliyyətinə 1990-cu ildə Azərbaycan Respublikası Maliyyə Nazirliyinin (ARMN) Baş Dövlət Vergi Müfəttişliyində dövlət vergi müfəttişi kimi başlayıb. 1992-1996-cı illərdə Baş Dövlət Vergi Müfəttişliyinin Beynəlxalq vergiqoyma, 1997-1999-cu illərdə isə İri vergi ödəyiciləri ilə iş üzrə idarələrinin rəisi olub. 2000-2004-ci illərdə ARMN-in Vergi siyasəti və gəlirlər Baş İdarəsinin rəisi vəzifəsində çalışıb. 2004-cü ilin fevral ayında Azərbaycan Respublikası Maliyyə nazirinin müavini vəzifəsinə təyin olunub. Azərbaycan Respublikası Nazirlər Kabinetinin Sərəncamı ilə 2004-cü ildən büdcə gəlirlərinin proqnozlaşdırılması üzrə komissiyanın sədridir.

Azərbaycan Respublikası Prezidentinin 2021-ci il 23 yanvar tarixli Sərəncamı ilə SOCAR-ın Müşahidə Şurasının üzvü təyin edilib.